Relativnost i satelitska navigacija

Na moru ili u divljini točno određivanje položaja može biti od životne važnosti. Ali i u svakodnevnom životu nije nam uvijek u blizini natpis s oznakom mjesta ili ulice, kada se pitamo: Gdje se sada zapravo nalazimo? Danas je presudno odgovor imati brzo. Jedan mali uređaj, ne puno veći od mobitela, dovoljan je da se, bilo gdje na svijetu položaj odredi u roku od par minuta - s točnošću od nekoliko desetaka metara do nekoliko metara:

Čarobna riječ je satelitska navigacija. Najpoznatiji sustav je vjerojatno US-američki "Global Positioning System", "Globalni sustav pozicioniranja", skraćeno GPS. GLONASS, "Globale Navigations-Satelliten-System", proizveden je kao sovjetski pandan za GPS sada njime upravlja ruska federacija. Europski sustav "Galileo", za sada je još u fazi pripreme i testiranja, a trebao bi biti spreman za uporabu od 2008. Funkcioniranje ovih sustava ovisi izravno o Einsteinovoj teoriji relativnosti.

Krug mogućih lokacija

Ali krenimo redom. Prvi korak u satelitsku navigaciju je zaključak: Onaj tko zna svoju udaljenost do dovoljnog broja poznatih mjesta, taj također zna i svoj vlastiti položaj. Najjednostavniji slučaj je gledanje dvodimenzionalne ravnine, kao što smo navikli kod zemljopisnih karata. Kada na primjer znam, da se nalazim 5,95 kilometara daleko od Einsteinovog ljetnikovca (Einsteinhaus) u mjestu Caputhu, tada mogu na karti nacrtati kružnicu odgovarajućeg polumjera, čije središte je u Caputhu (na slici crvena kružnica). Na toj kružnici se nalaze sva mjesta koja su 5,95 kilometara udaljena od Caputha, pa također i mjesto na kojem se ja nalazim. Ako slučajno znam da sam udaljen 3,04 kilometra od središta mjesta Werdera, tada mogu na karti ucrtati još jednu kružnicu polumjera 3,04 kilometra, čije središte je Werder - na toj su kružnici sva mjesta koja su udaljena 3,04 kilometra od Werdera, pa tako i moj trenutni položaj (na slici plava kružnica). Mjesto na kojem se nalazim leži na obje ucrtane kružnice, odnosno na jednom od njihova dva sjecišta. Ako imam barem grubu predodžbu, gdje se nalazim - nešto kao, da sam istočno od Werdera - tako da mogu isključiti jednu od dvije točke, tada sam svoj položaj jednoznačno odredio. A ako nemam, načinit ću i treći unos podatka o udaljenosti: Iz njega proizlazi treća kružnica, na kojoj su sva mjesta, koja su 4,96 kilometara udaljena od središta grada Potsdama (na slici je to zelena kružnica). Ako se nije dogodio baš specijalan slučaj da sva tri središta kružnica leže na jednom pravcu, tada sjecište triju kružnica određuje jednoznačno moj položaj - uostalomu ovom primjeru to je Albert-Einstein-Institut (AEI) u Golmu, u predjelu Potsdama:

Kada nemamo posla s dvodimenzionalnom ravninom, nego želimo odrediti položaj u trodimenzionalnom prostoru, neophodan je još jedan podatak o udaljenosti. Udaljenost od jedne jedine poznate točke A odgovara površini sfere svih točaka u prostoru, koje imaju zadanu daljinu od A. Podatak o udaljenosti za neko drugo mjesto odgovara površini neke druge sfere, stoga dakle naše mjesto boravka mora ležati na kružnici koja je sjecište površina obje sfere. Površina kugle, kojom je dan podatak o udaljenosti za neko treće mjesto, siječe tu kružnicu sa svoje strane u ukupno dvije točke; kada je potrebno tada sjecište s nekom četvrtom površinom kugle - četvrti podatak o udaljenosti od poznatog mjesta - pokazuje koja je od te dvije točke mjesto na kojem se nalazimo.

Od vremena do udaljenosti

Za sada je sve u redu: Kada znamo koliko smo udaljeni do dovoljnog broja poznatih mjesta, tada možemo odrediti i svoj vlastiti položaj. Ali kako se te udaljenosti određuju? Kada prihvatimo da u našem Univerzumu vrijede zakoni Einsteinove Specijalne teorije relativnosti, tada postoji jednostavno rješenje: Ta teorija kaže da brzina svjetlosti za svakog promatrača (točnije: za svakog inercijalnog promatrača) ima istu konstantnu vrijednost od 299.792.458 metara u sekundi. Sada na svaku referentnu točku postavimo jedan sat i jedan radio odašiljač. A mi sa sobom također nosimo sat i još jedan radioprijemnik, uz to smo utvrdili da svi spomenuti satovi idu sinkrono. Svaki radio odašiljač neprekidno u svim smjerovima šalje radio signal koji se kao i sve elektromagnetsko zračenje širi brzinom svjetlosti. Radio signalom na mjestu odašiljanja upravlja sat, tako da signal ima oblik vremenskog takta. Na primjer radio stanica može svake milijardinke sekunde odašiljati puls vremenskog signala. Taj radio signal sadrži informaciju, tako što jedan za drugim slijede malo jači i malo slabiji pulsovi, slično kao točke i crtice Morseove abecede. Tim točkama i crticama je u vidu koda zapisano s koje refrerentne točke i u koje vrijeme je određeni puls poslan. Posljedica: Kad god naš prijemnik primi puls vremenskog signala, može se očitati s koje točke i u koje vrijeme je taj puls poslan. S druge strane sat u našem prijemniku kaže kada je puls stigao do nas i, zahvaljujući konstantnoj brzini svjetlosti, već znamo udaljenost do referentne točke. Kad znamo trenutak odašiljanja i prijema, znamo također i koliko dugo je puls putovao do nas. Trajanje putovanja puta brzina svjetlosti daje nam udaljenost do referentne točke.

S ovim znanjem već možemo konstruirati pojednostavljenu inačicu satelitskog navigacijskog sustava. Naše referentne točke su sateliti koji kruže oko Zemlje. Slijedeća slika prikazuje šest kružnih putanja za 24 satelita, točnije: Osnovnu konfiguraciju Globalnog Pozicionog Sustava (GPS), koji jamči, da se gledano s bilo kojeg mjesta na zemljinoj površini u svako doba na nebu nalazi dovoljan broj satelita. Orbite su pri tome označene u mjerilu relativno prema Zemlji, dok su sami sateliti u stvari jako uvećani.

 

Oko 20.200 kilometara iznad Zemlje putuju sateliti duž svojih gotovo kružnih putanja brzinom od nekih 14.000 kilometara na sat. Svaki od satelita odašilje jedan vremenski signal, u kojem je kodiran niz dodatnih informacija. Prvo, od trenutka slanja signala određenog atomskim satom na satelitu, on se neprekidno prati pomoću zemaljskih postaja. Drugo, zemaljske postaje stalno prate i obnavljaju podatke o putanji za dane satelite.

Prijemni uređaj na tlu može te signale utvrditi i analizirati podatke koje oni sadrže. Budući da je u prijemni uređaj također ugrađen atomski sat, savršeno sinkroniziran sa satelitskim satovima, određivanje lokacije se zapravo odvija kao što je već gore objašnjeno korak po korak: vrijeme od trenutka odašiljanja do trenutka primanja signala, pomnoženo s brzinom svjetlosti daje udaljenost do različitih satelita. Položaji satelita u času emitiranja signala se znaju: oni se mogu izračunati izravno iz podataka o putanji koji se šalju zajedno sa signalom. Mjerenja udaljenosti do tri satelita svode moguću lokaciju prijamnika već na dvije točke u prostoru. Zahvaljujući dodatnim informacijama da traženo mjesto ne leži negdje u svemiru, nego blizu površine Zemlje, dade se zaključiti koja je od dvije opcije prava.

Međutim, minijaturni atomski satovi koji bi bili pristupačni velikom broju stanovnika su za sada daleka budućnost. Netočna vremena su značajan problem. Čak i sat koji krivo pokazuje samo milijuntinku sekunde, dovodi do pogreške od nekoliko stotina metara u određivanju udaljenosti satelita, s odgovarajućim posljedicama za točno određivanje lokacije. Srećom, postoji način da se uz pomoć satelitskih signala utvrdi ne samo mjesto, nego i točno vrijeme. U tu svrhu je satelit potrebniji nego za čisti pozicioniranje. Detaljnije objašnjenje vodi nas do dubljeg poznavanja određivanja vremena pomoću radio signala - od radio-sata do satelitske navigacije; ukratko dozvoljava nam dodatni uvjet da se sfera udaljenosti oko četvrtog satelita može preklapati sa sjecištem triju drugih sfera, određivanje parametra koji nedostaje, odnosno vremena na mjestu prijema.

Referentni sustavi

Međutim: čak i s ovim dodatnim korakom još nismo gotovi - čak i ako se zbog jednostavnosti zanemaruje praktični ometajući faktori, poput utjecaja Zemljine atmosfere na satelitske signale, s kojima se operatori navigacijskog sustava moraju suočavati. Jer do sada je naša argumentacija pretpostavljala da se primjenjuju zakoni Specijalne teorije relativnosti, naročito načelo stalnosti brzine svjetlosti. To je bio jedini način da se odredi udaljenost do satelita uzimajući jednostavno brzinu svjetlosti i vremensku razliku. U stvarnosti je situacija složenija: s jedne strane postoji Zemlja i njen gravitacijski utjecaj na hod sata i prostiranje radio signala, kao i Sunca i drugih planeta, a sateliti ne lete svemirom bez djelovanja sile, već ih privlačna sila Zemlje vuče u kružnu putanju. Srećom, većina efekata koji uzrokuju odstupanja od posebne teorije relativnosti je zanemariva s obzirom na trenutnu točnost satelitske navigacije (ova fusnota pruža više informacija). Poslije detaljnijeg pregleda, utvrđeno je sljedeće: Moguće je uvesti fiktivni referentni sustav čija nulta točka u prostoru leži u središtu Zemlje, čije su prostorne udaljenosti u dobroj aproksimaciji jednake kao u stvarnom zemaljskom okruženju i u kojima svjetlost zapravo ima uobičajenu konstantnu brzinu. Ovaj fiktivni sustav, u kojem također možemo izračunati udaljenosti direktno iz vremenskih razlika svjetlosnih ili radio signala, kao što smo pretpostavili u gornjem objašnjenju, također se naziva inercijalni sustav centriran na Zemlju. U okviru točnosti mjerenja koja je potrebna za satelitsku navigaciju, svjetlosni signali se zapravo kreću kroz svemir konstantnom brzinom u odnosu na ovaj sustav, a navigacijski sateliti se kreću po eliptičnim orbitama koje su dobro poznate iz nebeske mehanike.

Dilatacija vremena

Ova priprema nas dovodi do relativističkih efekata koji u stvarnosti igraju ulogu u satelitskoj navigaciji. Oni proizlaze iz činjenice da teorije relativnosti više nemaju vrijeme u jednini nego u pluralu. Koliko brzo ili sporo vrijeme prolazi, a posebno koliko brzo ili sporo idu satovi, s jedne strane ovisi o načinu na koji se kreću. Na primjer, što se tiče našeg inercijalnog sustava centriranog na Zemlju, primjenjuje se dilatacija vremena iz Specijalne teorije relativnosti: satovi koji se kreću u odnosu na ovaj sustav idu sporije u usporedbi sa satovima koji su u njemu nepomični. S druge strane, uspoređivanje uz pomoć svjetlosnih signala pokazuje, na primjer, da satovi u blizini masivnog tijela poput Zemlje, idu sporije što su bliže tijelu (gravitacijska dilatacija vremena).

U satelitskoj navigaciji važne su različite klase satova. Na Zemlji su satovi atomski. Pomoću njih fizičari određuju jedinicu vremena u našem inercijalnom sustavu centriranom na Zemlju - po definiciji međunarodnog sustava jedinica SI: Sekunda je u našem referentnom sustavu definirana frekvencijom određenog atomskog prijelaza Cezija-133 pod uvjetima pod kojima se takav prijelaz u atomskom satu odvija ovdje na Zemljinoj površini. Standardna vrijednost brzine svjetlosti (299,792,458 metara u sekundi) može se također koristiti za određivanje jedinice duljine našeg referentnog sustava, metara. U ovim se jedinicama u ovom referentnom sustavu prave astronomski proračuni satelitskih orbita.

Drugo, u satelitima su atomski satovi. Koriste se za mjerenje vremena potrebnog za određivanju položaja.

Međutim, ako za satelitske satove jednostavno koristite iste atomske satove kao i na Zemlji, ne vodeći računa o relativističkim efektima, pravite grešku. Definirani pod uvjetima na Zemlji, atomski satovi mogu mjeriti jedinicu vremena koju smo odabrali za naš inercijalni sustav centriran na Zemlju. Ali kad ih lansiramo u orbitu navigacijskih satelita, oni će ići malo brže nego na Zemlji. To proizlazi iz dva suprotstavljena efekta: S jedne strane, leteći satovi imaju znatno veću orbitalnu brzinu od satova na Zemljinoj površini i zato su donekle sporiji zbog dilatacije vremena koja se već može opisati u posebnoj teoriji relativnosti. S druge strane, satovi koji su primjetno dalje od Zemlje - zbog manje jakog gravitacijskog širenja vremena, idu nešto brže od identičnih satova na Zemlji. Prevladava ovaj drugi efekt, a sveukupno sat na jednom od navigacijskih satelita ide brže od identičnog sata na Zemlji.

Ono što pokazuje satelitski sat stoga postepeno odstupa od vremenske koordinate u našem inercijalnom sustavu centriranom na Zemlju, koju su odredili zemaljski satovi. Ako u formulama za orbitu satelita koristite pogrešno vrijeme kako biste odredili njihov položaj, što je netočniji rezultat, što je duže navigacioni sustav u funkciji - sateliti se u stvari nalaze u malo drugačijoj točki orbite nego što je predviđeno iz tog pogrešnog vremena. Mjerenja udaljenosti (i definicija metra) također su direktno povezana s jedinicom vremena - ako pomnožite pogrešne sekunde atomskog sata i brzinu svjetlosti da biste odredili udaljenost između satelita, dobit ćete nešto drugačiju vrijednost nego u referentnom sustavu centriranom na Zemlju koji smo izabrali.

Operateri GPS navigacionog sustava su riješili problem na tehnički veoma jednostavan način: Radna frekvencija atomskog sata podešena je tako da bi oni na zemlji radili malo sporije od referentnih satova koji se koriste za definiranje sekunde. Kada na ovaj način podešeni atomski sat leti kroz svemir na jednom od GPS satelita, promjena frekvencije takta samo izjednačava relativističko ubrzanje. Pomoću ove ispravljene brzine hoda, atomski sat pouzdano pokazuje vrijeme našeg inercijalnog sustava centriranog na Zemlju. Rezultat: Pouzdano određivanje položaja, točno do nekoliko metara, što ne bi funkcioniralo ako bi se zanemarili efekti Einsteinove teorije relativnosti.