Kinematika - matematika gibanja

Činjenica je da je gradivo kinematike u prvim razredima srednje škole učenicima možda najteže gradivo. Većina nastavnika uočava izvjesno olakšanje kod učenika nakon što se "izvuku" iz gradiva mehanike. Zašto je to tako? U nastavi fizike ističu se tri, uvjetno rečeno, barijere – pojmovna, likovna i matematička. a) Pojmovi ili koncepti zahtijevaju dugotrajno usvajanje. b) Crtanje kao bitno pomagalo u nastavi fizike nije uopće predmet obuke nastavnika, pa je nejasan, nerazumljiv ili posve izostavljen. c) Svi zakoni iskazuju se matematičkim formalizmom za koji se olako smatra da je već usvojen u nastavi matematike.

Dugogodišnje iskustvo u nastavi opće fizike navodi nastavnike da osim gradiva intuitivno sistematiziraju i poteškoće u učenju fizike. U tom pristupu nedovoljno se naglašava činjenica da je fizika koja se uči u školi u stvari deskriptivna – njeni zakoni samo opisuju pojave u prirodi, kao što biologija opisuje živi svijet. Ispravnost tih opisa u vidu "zakona fizike" može se ovjeriti u onoj mjeri u kojoj se na temelju njih može nepogrešivo predvidjeti fizikalni ishod neke pojave uz zadane početne uvjete.

I stoga učenje tih opisa stvara poteškoće na tri razine koje nastavnik treba sustavno riješiti.

Dakle kod opisa prirode uočavaju se tri zapreke:

Pojmovna zapreka - moglo bi se reći značenjska ili konceptualna zapreka koja nastaje kod usvajanja pojmova kojima se označavaju entiteti fizike kao što je npr. pojam sile, energije, entropije, mase, itd. Ti pojmovi kod školovanog fizičara lako potiču asocijativni niz koji mu otvara jasnu i cjelovitu usvojenu predodžbu entiteta označenog tim pojmom. Dočim početnici tek trebaju razumjeti i usvojiti njegovo puno značenje, a pri tome izbjeći utjecaj ranije stečenih pogrešnih zamisli i zabluda (predkoncepcija i miskoncepcija) oko zakonitosti koje su toliko neintuitivne da je od Aristotela do Newtona trebalo proći više od dva tisućljeća.

Likovna zapreka -  potiče iz pokušaja da se opis fizikalne pojave učini zornim uz pomoć ilustracija i pokusa. Međutim, predavači se rijetko znaju dobro likovno izražavati, crteži su krajnje stilizirani, shematski i apstraktni, razumljivi samo školovanim fizičarima. Druga je poteškoća što se sposobnost crtanja kao komunikacijskog sredstva nigdje ne uči sustavno u obuci nastavnika nego je prepuštena entuzijazmu samog predavača, a autori udžbenika preko izdavača dolaze do ilustratora kojem prenose svoje ideje i očekuju da ih on pretoči u razumljiv crtež. Pokusi izvedeni ex katedra također zahtijevaju poseban dizajn učila i plauzibilno upućivanje promatrača (učenika) na bitno u pojavi koja se ilustrira pokusom.

Matematička zapreka – Egzaktnost opisa prirode traži precizan jezik kojim se zakonitosti mogu zapisati i na temelju kojih se onda može izvršiti predikcija. Matematika je idealan jezik za tu svrhu ali da bismo ga razumjeli tim jezikom treba dobro ovladati. Kroz osnovno i srednješkolsko obrazovanje usvaja se opsežan matematički aparat koji međutim stoji odvojen od primjene u fizici poput disjunktnih skupova i traži posebnu doradu.

Neosporno je da se fizika pokazuje kao metodički najzahtjevnije gradivo, kako u osnovnoj tako i u srednjoj školi. Mikro-metodika nastave fizike, koja se bavi detaljima u izvođenju nastave detektira što pojedino gradivo čini "teškim"? Tako su pojmovi iz kinematike i činjenica da se u tom dijelu gradiva krije konceptualno težak matematički aparat s elementima infinitezimalnog računa pokazali da se tu mogu predložiti postupci koji učenicima i nastavnicima pomažu i olakšavaju taj dio gradiva. U mehanici su Newtonovi zakoni neintuitivni i za njihovo usvajanje također se predlažu pokusi i način njihove interpretacije.

Funkcijske ovisnosti u fizici

U praksi je široko zastupljena metoda po kojoj učenje fizikalnih zakona počinje od funkcijskih ovisnosti. Međutim da bi mogli usvojiti funkcije, potrebno je razumjeti njihovo grafičko prikazivanje. Stoga smo prisiljeni započeti s 'tjeranjem' djece crtaju i povezuju veličine prenesene iz tabličnog zapisa u koordinatni sustav. Iako upotreba grafova može biti dobra za učenje načina prikazivanja, ona ne znači nužno i konceptualno razumijevanje ovisnosti prikazanih veličina.

SLIKA 1.  Grafički prikaz pridruživanja među elementima skupova u matematici počinje slikom dvaju zaokruženih polja sa strelicama koje upućuju na bijekciju, zatim se uvodi pridruživanje između brojevnih pravaca, da bi se konačno ti pravci ukrstili u vidu koordinatnog sustava.

Razumjeti ovisnost parametara fizičke pojave prikazanih u koordinatnom sustavu, znači shvatiti da su veličine na apscisi proizvoljno odabrane, a da su one na ordinati dobivene mjerenjem u eksperimentu, što je bitna razlika od načina na koji se izučavaju funkcijske ovisnosti u matematici.

Ali taj postupak nije ni tako jednostavan ni tako elementaran kao što izgleda. Prvo, on zahtijeva sposobnost da se izvrši "jedan – jedan" pridruživanje, i drugo traži spoznaju da su funkcijske ovisnosti u stvari opis prirode koja nas okružuje, a ne rezultati proizvoljno izabrane funkcije.

Razlika između matematike i fizike

U matematici se ispituju različite funkcije, počevši od jednostavnih prema složenijima u pogledu računskih operacija nad varijablom. f(x) = x; f(x) = kx; f(x) = kxn; itd. I promatra se kakve će se vrijednosti dobiti uvrštavanjem u zadanu funkcijsku ovisnost. (Slika 2.)

Dakle u matematici, poznati su elementi iz skupa domene i poznata je funkcija, a traže se vrijednosti iz kodomene.

SLIKA 2. U fizici se vrijednosti u kodomeni dobivaju mjerenjem u eksperimentu a zatim se traži kakva je funkcijska ovisnost, je li npr. linearna, eksponencijalna, itd.

U fizici je međutim stvar konceptualno bitno drugačija. Vrijednosti u domeni uzima fizičar proizvoljno a one u kodomeni dobivaju se mjerenjem u eksperimentu. Zatim se traži kakva je funkcijska ovisnost, je li npr. linearna, eksponencijalna, itd. Traži se kako glasi ispravan opis. Naime, zakoni fizike nisu preskriptivni, oni nisu propis koji zahtijeva određeni oblik ponašanja , oni ne propisuju tijelima i pojavama kako da se ponašaju. Tako primjerice Snellov zakon NE PROPISUJE svjetlost da se lomi prema omjeru sinusa kutova, kao da bi se svjetlost „htjela“ lomiti na granici sredstva nekako drugačije, a tek ju zakoni fizike prisiljavaju na lom definiran indeksom loma. Zakoni fizike su deskriptivni, oni su samo opis onoga što se zbiva, za koji smatramo da ima univerzalno značenje. A ti se opisi iskazuju jezikom matematike, i to je uz pojmovnu i likovnu dodatna teškoća u nastavi fizike.

Primjer jednolikog ubrzanog gibanja

Ako osvijestimo činjenicu da je kinematika prožeta pojmovima infinitezimalnog računa moći ćemo osmisliti strategiju koja olakšava njeno usvajanje. Ko primjer uzet ćemo jednoliko ubrzano gibanje koje je dio gradiva u prvom razredu srednje škole. Najjednostavnije je pokazati takvo gibanje u slučaju slobodnog pada. U stvari neopravdano se slobodni pad uzima kao specijalni slučaj jednolikog ubrzanog gibanja, samo zato što je ubrzanje g posljedica sile teže.

 Pokus u kojem puštamo da slobodno pada uteg mase 1 kg (Slika 3.) izvodimo tako da uteg visi na papirnatoj vrpci provučenoj kroz tipkalo (vibrator). U slobodnom padu tipkalo će na vrpci ostaviti zapis, točkice, svake 1/50 sekunde jer elektromagnetski uređaj radi na frekvenciji električne mreže od 50 Hz. Kao jedinicu vremena uzet ćemo prvo pet intervala tipkala, tj. 1/10 sekunde. (1/50 s = 0,02 s;  5·0,02 s = 0,1s). Desetina sekunde je interval koji si učenici mogu intuitivno predočiti.

tipkalo i uteg

SLIKA 3. Uteg mase 1 kg povlači papirnatu vrpcu na kojoj će ostati zabilježeni prijeđeni putovi u intervalima od 1/50 sekunde.

Sada vrpcu učvrstimo na školsku ploču kao ordinatu koordinatnog sustava. Apscisu nacrtamo kredom kao vremensku os i nanesemo oznake za svaku desetinku sekunde (Slika 4.)

v-t_graf_2

SLIKA 4. Na temelju s-t grafa učenicima se zadaje da nacrtaju v-t graf. Koji algoritam pri tome trebaju primijeniti?

Na vrpci istaknemo svaku petu točkicu i u koordinatni sustav ucrtamo parove vrijednosti za prijeđene putove i pripadajuća vremena. Spajanjem dobivenih točaka dobivamo graf ovisnosti puta o vremenu, tzv. ″s-t graf″.

Očito je da su vrijednosti na ordinati proizašle iz eksperimenta, dakle nisu unošene primjenom formule s = g·t2/2. To je bitna razlika između fizike i matematike. Fizičar sada treba utvrditi kakva je funkcijska ovisnost koju je dobio iz eksperimenta. Poznavanje matematike će nam pomoći da utvrdimo kako je ta ovisnost kvadratna. Naime put prevaljen za dvostruko dulje vrijeme je četiri puta dulji, a onaj za trostruko dulje vrijeme je devet puta dulji, itd. Brojevi 4, 9, 16, 25, … su kvadrati. A putovi prevaljeni unutar pojedinih intervala rastu linearno kao neparni brojevi. Put prevaljen u drugoj desetinki sekunde je tri puta dulji od onog u prvoj desetinki, put u trećoj desetinki je pet puta dulji, itd. s1, 3s1, 5s1, 7s1, …. (Slika 4.)

Slijedeći zahtjevan korak koji se stavlja pred učenike jest da na temelju s-t grafa nacrtaju v-t graf. Pri tome im se rijetko kada daje uputa kako se to radi. A algoritam postupka je slijedeći: Najprije u v-t graf prenesemo doslovce vremensku os, jer promjenu brzine promatramo u istom vremenu. Zatim uz crtu s-t grafa označimo katete pravokutnog trokuta za svaku jedinicu vremena. Uspravna kateta je put prevaljen u toj jedinici vremena, a vodoravna kateta je to vrijeme. Zatim podijelimo uspravnu s vodoravnom katetom i dobivenu vrijednost unesemo u v-t graf.

Navedenim postupkom dobit ćemo u v-t grafu ″stepenice″ srednjih brzina u pojedinoj jedinici vremena koja iznosi 0,1 s. Te su stepenice očito grube. Sada pokušajmo nacrtati takve ″stepenice″ uzimajući kao jedinicu vremena 1/50 sekunde. Očito je da su ″stepenice″ postale finije. A ako pokušamo ucrtati ″stepenice″ za svaku milijuntinku sekunde, nećemo ih moći razaznati jer su finije od debljine krede kojom crtamo i dobit ćemo pravac trenutnih brzina.

Isti algoritam potreban je i u zadatku da se na temelju v-t grafa nacrta a-t graf.

Opisani postupak je u suštini derivacija funkcije kako se ona primjenjuje u infinitezimalnom računu.

I hijerarhija grafova s-t v-t a-t, predstavlja prelazak na prvu i drugu derivaciju puta po vremenu. Naravno to se u prvom razredu ne spominje ali su to elementi infinitezimalnog računa koji po svojoj apstraktnosti predstavlja vrlo zahtjevno gradivo, kojem većina učenika nije dorasla.

Ista je stvar i sa zadacima da se na temelju višeg grafa (po stupnju derivacije) nacrta niži graf. Tako su vrlo česti zadaci koji traže da se iz danog v-t grafa nacrta s-t graf, a kao pomoć se napomene da površina ispod grafa ima smisao puta. Ta tvrdnja u stvari je uputa za određeni integral pojednostavljen na poligone jer su gibanja jednolika.

Dakle zadaci u kojima se traži da se na temelju jednog grafa, npr. v-t (brzina - vrijeme) nacrta drugi graf, npr. a-t (akceleracija - vrijeme) u suštini zahtijevaju deriviranje, preskačući limes kao osnovu trenutnih vrijednosti.

Aristotelovsko mišljenje i newtonovi koncepti

 Pojmovno teško gradivo predstavljaju Newtonovi aksiomi. Rijetko si postavljamo pitanje: Ako je od Aristotela (350. pr. Kr.) pa do Newtona (1670.) trebalo proći više od 2000 godina, kako je moguće da učenici te koncepte usvoje u dva ili tri školska sata. Očito je razlog u ″prirodnosti″ i intuitivnosti aristotelovskog načina mišljenja, Po kojem "tijelo miruje ako na njega ne djeluje nikakva sila, a giba se tek ako na njega djeluje sila".

Ta kauzalnost koja gibanje (pogrešno) povezuje sa silom, a mirovanje s izostankom sile toliko je uvriježena da zahtijeva poseban pristup u nastavi.

Jedan od načina je slijedeći pokus.

Na vodoravnom stolu zanemarivoga trenja položena su kolica. Za njih je svezana nit prebačena preko koloture na rubu stola, a na kraju niti visi uteg. Posebnost pokusa je u tome da je spuštanje utega ograničeno na visinu h. To nam omogućava da se kolica nađu u  dva režima; prvi, dok se uteg spušta na kolica djeluje sila napetosti niti, i drugi, kada uteg dođe do podloge, prestaje djelovanje sile koja je vršila ubrzavanje i na kolica ne djeluje sila. (Slika 5.)

pokus_01

SLIKA 5. Spuštanje utega ograničeno na visinu h. To nam omogućava da se kolica nađu u  dva režima; prvi, dok se uteg spušta na kolica djeluje sila napetosti niti, i drugi, kada uteg dođe do podloge, prestaje djelovanje sile koja je vršila ubrzavanje i na kolica ne djeluje sila.

Duljinu jednaku visini h odmjerili smo kao dionicu A. Ako kolica pustimo bilo gdje na dionici A ona se počnu gibati pa možemo zaključiti da je uzrok u tome djelovanje sile. Tipično će učenici izjaviti da se kolica počinju gibati jer na njih djeluje sila. Stavimo li kolica bilo gdje na dionicu B ona miruju jer je uteg na podlozi. I opet tipično učenici izjavljuju da kolica miruju jer na njih ne djeluje nikakva sila. To su predkoncepti.

Pustimo li kolica iz početnog položaja utega da se spušta cijelom visinom h, pa će kolica na dionici A (koja jednaka visini h) biti pod djelovanjem stalne sile napetosti niti, koja će ih ubrzavati. Kada uteg sjedne na čvrstu podlogu C, sila napetosti niti nestaje. Konceptualno je pitanje: Hoće li kolica u tom času stati jer na njih više ne djeluje sila koja ih je ubrzavala? Ako učenici predviđaju da će se kolica nastaviti gibati i na dionici B, onda je to u suprotnosti s tvrdnjom da tijelo miruje ako na njega ne djeluje sila! Kolika je brzina kolica nakon što prijeđu na dionicu B?

Za kolica možemo vezati papirnatu vrpcu provučenu kroz tipkalo (vibrator). Imat ćemo zabilježen otprilike ovakav trag i pripadajući v-t graf:

I & II Newtonov zakon.bmp

Prožimanje matematike i fizike

Jednostavnim priborom koji se sastoji od izvora (npr. plamen svijeće), sabirne leće i zastora, može se objasniti pojam realne i imaginarne slike, ali istodobno i moguća rješenja kvadratne jednadžbe. Ovisno o iznosu udaljenosti (L) između predmeta i zaslona u odnosu na žarišnu daljinu leće (f), moguća su tri slučaja dobivanja oštre slike na zaslonu:

-      oštra slika na dva položaja leće.

-      oštra slika na samo jednom položaju leće

-      nemogućnost dobivanja oštre slike na zaslonu.

SLIKA 6. Udaljenost između predmeta (plamen svijeće) i slike na zaslonu u odnosu na žarišnu daljinu leće, uvjetuje hoćemo li dobiti sliku na dva položaja leće, na jednom položaju ili uopće nećemo dobiti oštru sliku.

Jednadžbu leće napišemo tako da x' zamijenimo sa L-x, time smo dobili jednadžbu s jednom nepoznanicom.

Potražimo li sada rješenje za x dobit ćemo kvadratnu jednadžbu čija rješenja ovise o diskriminanti.

Diskriminanta naše kvadratne jednadžbe je D = L2 - 4 fL . Moguća su tri tipa rješenja.

  • dva realna, različita rješenja, kada je diskriminanta pozitivan broj D > 0
  • jedno realno rješenje, kada je diskriminanta jednaka nuli D = 0
  • dva konjugirano kompleksna rješenja, kada je diskriminanta kao broj pod korijenom negativna D < 0

Postavimo li zaslon na udaljenost veću od 4f, dobit ćemo oštru sliku na dva položaja leće, ako je ta udaljenost upravo 4f, moći ćemo dobiti oštru sliku samo na jednom položaju leće. I konačno ako zastor približimo na udaljenost manju od četiri žarišne daljine leće, diskriminanta (izraz pod korijenom) je negativna, rješenja jednadžbe su konjugirano kompleksna (imaginarna) i oštru sliku nećemo dobiti bez obzira gdje postavimo leću. Uočavanje ove izravne veze između eksperimenta i matematičkog formalizma dodatno će učvrstiti ideju da su zakoni fizike deskriptivni.

Hrvoje Mesić, Prirodopolis