Kinematika - matematika gibanja

Vizualizacija apstraktnih pojmova - Likovna zapreka potječe iz nastojanja da se opis fizikalne pojave učini zornim pomoću ilustracija i demonstracijskih pokusa. Međutim, predavači se rijetko znaju dobro likovno izražavati, crteži su krajnje stilizirani, shematski i apstraktni, razumljivi samo školovanim fizičarima. Druga je poteškoća što se sposobnost crtanja kao komunikacijskog sredstva nigdje sustavno ne uči u obuci nastavnika nego je prepuštena entuzijazmu samog predavača, a autori udžbenika preko izdavača dolaze do ilustratora kojem prenose svoje ideje i očekuju da ih on pretoči u razumljiv crtež. Pokusi izvedeni ex katedra također zahtijevaju poseban dizajn učila i plauzibilno upućivanje promatrača (učenika) na bitno u pojavi koja se ilustrira pokusom. Sve to zahtijeva dodatnu opremu i pripremu koja izostaje jer se neadekvatno vrednuje ili se uopće ne uzima u obzir. Mnogi fizički koncepti, poput atoma, čestica i polja, nisu izravno vidljivi i zahtijevaju vještine vizualizacije i konceptualizacije. Ovo može biti teško za učenike koji se bore s vizualizacijom apstraktnih pojmova u svom umu, što dovodi do izazova u njihovom razumijevanju i primjeni.

Matematička zapreka – Fizika se uvelike oslanja na matematičke alate i modele za opisivanje i predviđanje fizičkih pojava. To zahtijeva jake temelje u matematici, uključujući račun, linearnu algebru i diferencijalne jednadžbe, što može biti zastrašujuće za mnoge učenike i može predstavljati prepreku za učinkovito učenje fizike. Egzaktnost opisa prirode traži precizan jezik kojim se zakonitosti mogu zapisati i na temelju kojih se onda može izvršiti predikcija. Matematika je idealan jezik za tu svrhu. Ali da bismo ga razumjeli, tim jezikom treba dobro ovladati. Kroz osnovno i srednješkolsko obrazovanje usvaja se opsežan matematički aparat koji međutim stoji odvojen od primjene u fizici poput disjunktnih skupova i traži posebnu doradu.

Neosporno je da se fizika pokazuje kao metodički najzahtjevnije gradivo, kako u osnovnoj tako i u srednjoj školi. Mikro-metodika nastave fizike, koja se bavi detaljima u izvođenju nastave detektira što pojedino gradivo čini "teškim"? Tako su pojmovi iz kinematike i činjenica da se u tom dijelu gradiva krije konceptualno težak matematički aparat s elementima infinitezimalnog računa pokazali da se tu mogu predložiti postupci koji učenicima i nastavnicima pomažu i olakšavaju taj dio gradiva. U mehanici su Newtonovi zakoni neintuitivni i za njihovo usvajanje također se predlažu pokusi i način njihove interpretacije.

Fizika je često teška za poučavanje i učenje zbog još nekih razloga:

Vještine kritičkog razmišljanja: Fizika nije samo pamćenje činjenica, već i razvijanje vještina kritičkog razmišljanja za analizu i rješavanje složenih problema. To zahtijeva razumijevanje temeljnih načela i njihovu primjenu na scenarije iz stvarnog svijeta, što može biti izazovno za učenike koji nisu navikli na ovakav način razmišljanja.

Pedagoški izazovi: Učinkovito poučavanje fizike zahtijeva kvalificirane nastavnike koji mogu prenijeti složene koncepte na način koji je pristupačan i privlačan učenicima. Međutim, nemaju svi instruktori potrebne pedagoške vještine ili resurse, što dovodi do varijacija u kvaliteti obrazovanja fizike.

Prethodne zablude: Učenici mogu donijeti unaprijed stvorene predodžbe ili zablude o konceptima fizike iz svojih svakodnevnih iskustava, što može spriječiti njihovu sposobnost da shvate pravu prirodu fizičkih pojava. Odvikavanje od tih pogrešnih predodžbi i izgradnja čvrstih temelja točnih koncepata može biti izazovno.

Potrebno vrijeme i trud: Fizika zahtijeva dosljedan trud i vježbu kako bi se razvilo duboko razumijevanje predmeta. Učenicima može trebati vremena da svladaju koncepte i vještine potrebne za postizanje uspjeha u fizici, što može biti obeshrabrujuće za neke učenike.

Unatoč ovim izazovima, fizika može biti neizmjerno koristan predmet za učenje i primjenu u raznim područjima znanosti, inženjerstva i tehnologije. Uz učinkovite strategije poučavanja, angažiranje resursa i predani trud, fizika se može učiniti pristupačnijom i ugodnijom za učenike.

Funkcijske ovisnosti u fizici

U praksi je široko zastupljena metoda po kojoj učenje fizikalnih zakona počinje od funkcijskih ovisnosti. Međutim da bi mogli usvojiti funkcije, potrebno je razumjeti njihovo grafičko prikazivanje. Stoga smo prisiljeni započeti s 'tjeranjem' djece da crtaju i povezuju veličine prenesene iz tabličnog zapisa u koordinatni sustav. Iako upotreba grafova može biti dobra za učenje načina prikazivanja, ona ne znači nužno i konceptualno razumijevanje ovisnosti prikazanih veličina.

Slika 1. Grafički prikaz pridruživanja među elementima skupova u matematici počinje slikom dvaju zaokruženih polja sa strelicama koje upućuju na bijekciju, zatim se uvodi pridruživanje između brojevnih pravaca, da bi se konačno ti pravci ukrstili u vidu koordinatnog sustava.

Razumjeti ovisnost parametara fizičke pojave prikazanih u koordinatnom sustavu, znači shvatiti da su veličine na apscisi proizvoljno odabrane, a da su one na ordinati dobivene mjerenjem u eksperimentu, što je bitna razlika od načina na koji se izučavaju funkcijske ovisnosti u matematici.

Ali taj postupak nije ni tako jednostavan ni tako elementaran kao što izgleda. Prvo, on zahtijeva sposobnost da se izvrši "jedan – jedan" pridruživanje, i drugo traži spoznaju da su funkcijske ovisnosti u stvari opis prirode koja nas okružuje, a ne rezultati proizvoljno izabrane funkcije.

Razlika između matematike i fizike

U matematici se ispituju različite funkcije, počevši od jednostavnih prema složenijima u pogledu računskih operacija nad varijablom. f(x) = x; f(x) = kx; f(x) = kxⁿ; itd. I promatra se kakve će se vrijednosti dobiti uvrštavanjem u zadanu funkcijsku ovisnost. (Slika 2.)

Dakle u matematici, poznati su elementi iz skupa domene i poznata je funkcija, a traže se vrijednosti iz kodomene.

Slika 2. U fizici se vrijednosti u kodomeni dobivaju mjerenjem u eksperimentu a zatim se traži kakva je funkcijska ovisnost, je li npr. linearna, eksponencijalna, itd.

U fizici je međutim stvar konceptualno bitno drugačija. Vrijednosti u domeni uzima fizičar proizvoljno a one u kodomeni dobivaju se mjerenjem u eksperimentu. Zatim se traži kakva je funkcijska ovisnost, je li npr. linearna, eksponencijalna, itd. Traži se kako glasi ispravan opis. Naime, zakoni fizike nisu preskriptivni, oni nisu propis koji zahtijeva određeni oblik ponašanja, oni ne propisuju tijelima i pojavama kako da se ponašaju. Tako primjerice Snellov zakon NE PROPISUJE svjetlosti da se na granici sredstva lomi prema omjeru sinusa kutova, kao da bi se svjetlost "htjela" lomiti nekako drugačije, a tek ju zakoni fizike prisiljavaju na lom definiran indeksom loma. Zakoni fizike su deskriptivni, i kao takvi su samo opis za koji smatramo da ima univerzalno značenje. A ti se opisi iskazuju jezikom matematike, koji je uz pojmovnu i likovnu dodatna teškoća u nastavi fizike.

Primjer jednolikog ubrzanog gibanja

Ako osvijestimo činjenicu da je kinematika prožeta pojmovima infinitezimalnog računa moći ćemo osmisliti strategiju koja olakšava njeno usvajanje. Ko primjer uzet ćemo jednoliko ubrzano gibanje koje je dio gradiva u prvom razredu srednje škole. Najjednostavnije je pokazati takvo gibanje u slučaju slobodnog pada. U stvari neopravdano se slobodni pad uzima kao specijalni slučaj jednolikog ubrzanog gibanja, samo zato što je ubrzanje g posljedica sile teže.

 Pokus u kojem puštamo da slobodno pada uteg mase 1 kg (Slika 3.) izvodimo tako da uteg visi na papirnatoj vrpci provučenoj kroz tipkalo (vibrator). U slobodnom padu tipkalo će na vrpci ostaviti zapis, točkice, svake 1/50 sekunde jer elektromagnetski uređaj radi na frekvenciji električne mreže od 50 Hz. Kao jedinicu vremena uzet ćemo prvo pet intervala tipkala, tj. 1/10 sekunde. (1/50 s = 0,02 s;  5·0,02 s = 0,1s). Desetina sekunde je interval koji si učenici mogu intuitivno predočiti.

Slika 3. Uteg mase 1 kg povlači papirnatu vrpcu na kojoj će ostati zabilježeni prijeđeni putovi u intervalima od 1/50 sekunde.

Sada vrpcu učvrstimo na školsku ploču kao ordinatu koordinatnog sustava. Apscisu nacrtamo kredom kao vremensku os i nanesemo oznake za svaku desetinu sekunde (Slika 4.)

Slika 4. Na vrpci istaknemo svaku petu točkicu i u koordinatni sustav ucrtamo parove vrijednosti za prijeđene putove i pripadajuća vremena. Spajanjem dobivenih točaka dobivamo graf ovisnosti puta o vremenu, tzv. ″s-t graf″.

Očito je da su vrijednosti na ordinati proizašle iz eksperimenta, dakle NISU unošene primjenom poznate formule s = g·t²/2. To je bitna razlika između fizike i matematike. Fizičar sada treba utvrditi kakva je funkcijska ovisnost koju je dobio iz eksperimenta. Poznavanje matematike će nam pomoći da utvrdimo kako je ta ovisnost kvadratna. Naime put prevaljen za dvostruko dulje vrijeme je četiri puta dulji, a onaj za trostruko dulje vrijeme je devet puta dulji, itd. Brojevi 4, 9, 16, 25, … su kvadrati. A putovi prevaljeni unutar pojedinih intervala rastu linearno kao neparni brojevi. Put prevaljen u drugoj desetini sekunde je tri puta dulji od onog u prvoj desetini, put u trećoj desetini je pet puta dulji, itd. s₁, 3s₁, 5s₁, 7s₁, (Slika 4.)

Slijedeći zahtjevan korak koji se stavlja pred učenike jest da na temelju s-t grafa nacrtaju v-t graf. Pri tome im se rijetko kada daje uputa kako se to radi. A algoritam postupka je slijedeći: Najprije u v-t graf prenesemo doslovce vremensku os, jer promjenu brzine promatramo u istom vremenu. Zatim uz crtu s-t grafa označimo katete pravokutnog trokuta za svaku jedinicu vremena. Uspravna kateta je put prevaljen u toj jedinici vremena, a vodoravna kateta je to vrijeme. Zatim podijelimo uspravnu s vodoravnom katetom i dobivenu vrijednost unesemo u v-t graf. (Slika 5.)

Slika 5. Na temelju s-t grafa učenicima se zadaje da nacrtaju v-t graf. Koji algoritam pri tome trebaju primijeniti?

Navedenim postupkom dobit ćemo u v-t grafu "stepenice" srednjih brzina u pojedinoj jedinici vremena koja iznosi 0,1 s. (Slika 5 a.) Te su "stepenice" očito grube. Sada pokušajmo nacrtati takve "stepenice" uzimajući kao jedinicu vremena 1/50 sekunde. (Slika 5 b.) Očito je da su "stepenice" postale finije. A ako pokušamo ucrtati "stepenice" za svaku milijuntinu sekunde, nećemo ih moći razaznati jer su finije od debljine krede kojom crtamo i dobit ćemo ravnu crtu trenutnih brzina. (Slika 5 c.)

Isti algoritam potreban je i u zadatku da se na temelju v-t grafa nacrta a-t graf.

Opisani postupak je u suštini derivacija funkcije kako se ona primjenjuje u infinitezimalnom računu.

I hijerarhija grafova s-t ⇒ v-t ⇒ a-t, predstavlja prelazak na prvu i drugu derivaciju puta po vremenu. Naravno to se u prvom razredu ne spominje ali su to elementi infinitezimalnog računa koji po svojoj apstraktnosti predstavlja vrlo zahtjevno gradivo, kojem većina učenika nije dorasla.

Ista je stvar i sa zadacima da se na temelju višeg grafa (po stupnju derivacije) nacrta niži graf. Tako su vrlo česti zadaci koji traže da se iz danog v-t grafa nacrta s-t graf, a kao pomoć se napomene da površina ispod grafa ima smisao puta. Ta tvrdnja u stvari je uputa za određeni integral pojednostavljen na poligone jer su gibanja jednolika.

Slika 6. Na temelju površine ispod v-t grafa može se izračunati put prijeđen u vremenu Δt

Dakle zadaci u kojima se traži da se na temelju jednog grafa, npr. v-t (brzina - vrijeme) nacrta drugi graf, npr. a-t (akceleracija - vrijeme) u suštini zahtijevaju deriviranje, preskačući limes kao osnovnu razliku između prosječne i trenutne vrijednosti.

Prožimanje matematike i fizike

Jednostavnim priborom koji se sastoji od izvora (npr. plamen svijeće), sabirne leće i zastora, može se objasniti pojam realne i imaginarne slike, ali istodobno i moguća rješenja kvadratne jednadžbe. Ovisno o iznosu udaljenosti (L) između predmeta i zaslona u odnosu na žarišnu daljinu leće (f), moguća su tri slučaja dobivanja oštre slike na zaslonu:

• oštra slika na dva položaja leće.
• oštra slika na samo jednom položaju leće.
• nemogućnost dobivanja oštre slike na zaslonu.

Slika 9. Udaljenost između predmeta (plamen svijeće) i slike na zaslonu u odnosu na žarišnu daljinu leće, uvjetuje hoćemo li dobiti sliku na dva položaja leće, na jednom položaju ili uopće nećemo dobiti oštru sliku.

Jednadžbu leće napišemo tako da x' zamijenimo sa L-x, time smo dobili jednadžbu s jednom nepoznanicom.

Potražimo li sada rješenje za x dobit ćemo kvadratnu jednadžbu čija rješenja ovise o diskriminanti.

Diskriminanta naše kvadratne jednadžbe je D = L² - 4fL. Moguća su tri tipa rješenja.

• dva realna, različita rješenja, kada je diskriminanta pozitivan broj $D>0$
• jedno realno rješenje, kada je diskriminanta jednaka nuli $D=0$
• dva konjugirano kompleksna rješenja, kada je pod korijenom negativan broj $D<0$
  

Postavimo li zaslon na udaljenost veću od 4f, dobit ćemo oštru sliku na dva položaja leće, ako je ta udaljenost upravo 4f, moći ćemo dobiti oštru sliku samo na jednom položaju leće. I konačno ako zastor približimo na udaljenost manju od četiri žarišne daljine leće, diskriminanta (izraz pod korijenom) je negativna, rješenja jednadžbe su konjugirano kompleksna (imaginarna) i oštru sliku nećemo dobiti bez obzira gdje postavimo leću. Uočavanje ove izravne veze između eksperimenta i matematičkog formalizma dodatno će učvrstiti ideju da su zakoni fizike deskriptivni.

Hrvoje Mesić, Prirodopolis

prirodopolis  |  o nama  |  projekt  |  događaji  |  kontakti  |  dokumenti  |  povijest  |  priroda